Прогрессии

Интерактивные модели для изучения арифметических и геометрических прогрессий.
Нажмите на задачу, чтобы открыть модель.

9 класс ОГЭ

Арифметическая прогрессия

🪨

Камень в ущелье

Камень падает в ущелье. За первую секунду он пролетает 9 метров, а за каждую следующую секунду — на 10 метров больше, чем за предыдущую. Какое расстояние камень пролетит за N секунд?
a₁ = 9 d = 10
Открыть модель → S₅ = 145 м
🍽️

Столики в кафе

В кафе квадратные столики ставят в ряд. За одним столиком сидят 4 человека. Когда столики сдвигают, за каждый следующий столик добавляется 2 места. Сколько человек сядет за N сдвинутых столиков?
a₁ = 4 d = 2
Открыть модель → N=16 → 34 мест
🎭

Амфитеатр

В амфитеатре 14 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В пятом ряду 27 мест, а в восьмом ряду 36 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?
a₅ = 27 a₈ = 36 n = 14
Открыть модель → a₁₄ = 54 мест
🚂

Поезд от станции

Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 0,2 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,4 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 10 секунд движения?
a₁ = 0.2 d = 0.4
Открыть модель → S₁₀ = 20 м
〰️

Змейка на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге нарисована «змейка» — ломаная из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. Длины звеньев образуют пары: 1, 1, 2, 2, …, n, n. Последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, у которой последнее звено имеет длину 120.
S = n·(n+1) n = 1..120
Открыть модель → S = 14 520
🚗

Торможение автомобиля

Автомобиль начал тормозить. За первую секунду он проехал v₁ метров, а за каждую следующую секунду — на d метров меньше. Найдите полный тормозной путь и через сколько секунд автомобиль остановится.
d > 0 v₁ = 5..80 найти S и n
Открыть модель → v₁=30, d=5 → S=105 м

Геометрическая прогрессия

🏀

Прыгающий мяч

Мячик отскочил на высоту 5,4 м, а при каждом следующем прыжке поднимается втрое ниже. При каком по счёту прыжке мячик впервые не достигнет высоты 10 см?
h₁ = 5.4 м q = 1/3 порог = 10 см
Открыть модель → Прыжок №5
🦠

Рост колонии микроорганизмов

В чашку Петри поместили колонию микроорганизмов массой 13 мг. Каждые 30 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии через 90 минут.
a₁ = 13 q = 3 T = 30 мин
Открыть модель → a₄ = 351 мг
☢

Радиоактивный распад

Масса радиоактивного изотопа уменьшается вдвое каждые 7 минут. В начальный момент масса составляла 640 мг. Найдите массу изотопа через 42 минуты.
a₁ = 640 q = 1/2 T½ = 7 мин
Открыть модель → a₇ = 10 мг

11 класс ЕГЭ база

Арифметическая прогрессия

🖌

Маляры красят забор

Бригада красит забор длиной 270 м, ежедневно увеличивая норму на одно и то же число метров. За первый и последний день в сумме покрасили 90 м. Сколько дней красили забор?

S = 270 a₁+aₙ = 90
n = 6 Открыть →
🐌

Улитка между деревьями

Улитка ползёт от одного дерева до другого, каждый день проползая на одинаковое расстояние больше. За первый и последний дни в сумме — 10 м. Расстояние между деревьями 150 м. Сколько дней в пути?

S = 150 a₁+aₙ = 10
n = 30 Открыть →
🧗

Турист между городами

Турист идёт из одного города в другой, каждый день проходя больше на одно и то же расстояние. В первый день прошёл 10 км, всего 6 дней, расстояние 120 км. Сколько км прошёл за третий день?

a₁ = 10 n = 6 S = 120
a₃ = 18 Открыть →
💌

Открытки Веры

Вере надо подписать 640 открыток. Ежедневно она подписывает на одинаковое количество больше. В первый день — 10 открыток, вся работа за 16 дней. Сколько открыток за четвёртый день?

a₁ = 10 n = 16 S = 640
a₄ = 22 Открыть →
📚

Задачи Васи

Васе надо решить 525 задач. Ежедневно он решает на одинаковое количество задач больше. В первый день решил 5 задач, справился за 14 дней. Сколько задач решил в последний день?

a₁ = 5 n = 14 S = 525
aₙ = 70 Открыть →

Геометрическая прогрессия

💰

Прибыль Бубликова

Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль 5000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим. Сколько рублей заработал за 2003 год?

a₁ = 5000 q = 4
a₄ = 320 000 Открыть →

✨ Замечательные последовательности

🌀

Спираль Фибоначчи

Строим квадраты со сторонами 1, 1, 2, 3, 5, 8… и вписываем в каждый четверть окружности. Отношение соседних чисел стремится к золотому сечению φ = 1.618…

F(n) = F(n-1)+F(n-2)
φ ≈ 1.6180… Открыть →
🔺

Треугольник Паскаля

Каждое число — сумма двух чисел над ним. Включите режим цвета — нечётные числа образуют треугольник Серпинского: фрактал из простого правила!

C(n,k) = C(n-1,k-1)+C(n-1,k)
Σ строки = 2ⁿ Открыть →
🔴

Решето Эратосфена

Берём наименьшее невычеркнутое число — оно простое. Вычёркиваем все его кратные. Повторяем до √N. Всё что осталось — простые числа.

вычеркнуть кратные p²
простых до 100: 25 Открыть →
Интерактивные модели для уроков математики