← Назад

🔺 Треугольник Паскаля

8
Визуализация
Строк 0
Сумма строки —
Всего чисел 0
✨ Нечётные числа образуют треугольник Серпинского!

🔺 Треугольник Паскаля — сокровищница математики

Кратко

Простейшее правило построения — каждое число равно сумме двух над ним — порождает треугольник, в котором зашифрованы биномиальные коэффициенты, числа Фибоначчи, степени числа 11 и даже фракталы. Не зря математики говорят: в этом треугольнике можно прожить всю научную жизнь и не исчерпать его.

История

Этот треугольник знали задолго до Паскаля. Персидский математик аль-Карраджи описал его в XI веке. В Китае он называется «треугольником Янь Хуэй» (XIII в.), в Иране — «треугольником Хайяма», в Италии — «треугольником Тартальи» (XVI в.). Блез Паскаль в 1653 году написал систематический трактат о его свойствах — с тех пор имя закрепилось в европейской традиции.

Правило построения

C(n, k) = C(n−1, k−1) + C(n−1, k) Граница: C(n, 0) = C(n, n) = 1

Элемент C(n, k) — число способов выбрать k объектов из n (биномиальный коэффициент). Именно поэтому строки треугольника — коэффициенты бинома Ньютона (a+b)ⁿ.

Скрытые закономерности

  • 📊 Бином Ньютона: строка n — коэффициенты раскрытия (a+b)ⁿ
  • ➕ Суммы строк: 1, 2, 4, 8, 16… = 2⁰, 2¹, 2², 2³…
  • 🔢 Степени числа 11: 11⁰=1, 11¹=11, 11²=121, 11³=1331, 11⁴=14641
  • 🌀 Числа Фибоначчи: суммы по «пологим» диагоналям ↗ (кнопка 🌀 Фибоначчи)
  • 🔺 Треугольник Серпинского: нечётные числа — фрактал (кнопка 🎨 Цвет)
  • 🏒 «Хоккейная клюшка»: сумма чисел вдоль диагонали равна числу в следующей строке
  • 🔵 Треугольные числа: 1, 3, 6, 10, 15… — 2-я диагональ слева
  • 🔷 Тетраэдрические числа: 1, 4, 10, 20, 35… — 3-я диагональ

Треугольник Серпинского

Включи режим 🎨 Цвет и поставь N = 20. Нечётные числа образуют самоподобный фрактал — треугольник Серпинского. Он строится бесконечным вырезанием средних треугольников. Его размерность Хаусдорфа = log₂3 ≈ 1,585 — это число «между» линией (1) и плоскостью (2)!

Числа Фибоначчи по диагоналям

«Пологие» диагонали — клетки с одинаковой суммой строка + столбец — дают числа Фибоначчи:

F(d+1) = Σ C(d−k, k), k = 0, 1, …, ⌊d/2⌋ d=4: C(4,0)+C(3,1)+C(2,2) = 1+3+1 = 5 = F(5)

Применение

  • Комбинаторика и вероятность: подсчёт числа исходов, биномиальное распределение
  • Алгебра: быстрое раскрытие (a+b)ⁿ без длинного умножения
  • Теория чисел: строка p простая ⟺ все внутренние числа делятся на p
  • Информатика: динамическое программирование, задачи на подсчёт путей